3745. Докажите или опровергните следующее утверждение: периметр ромба с диагоналями длины 1 и 3 больше длины окружности радиуса 1.
Ответ. Утверждение верно.
Указание. Воспользуйтесь неравенством \pi\lt3{,}15
Решение. Половины диагоналей ромба равны \frac{1}{2}
и \frac{3}{2}
. Следовательно, если a
— сторона ромба, P
— его периметр, а l
— длина окружности единичного радиуса, то
a=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2},~P=4a=2\sqrt{10},~l=2\pi\cdot1=2\pi.
Поскольку \pi\lt3{,}15
, то \pi^{2}\lt9{,}93\lt10
, т. е. \pi\lt\sqrt{10}
. Поэтому P\gt l
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 2002 (отделение экономики), вариант 1, № 1
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 59