3747. В треугольнике DEF
угол DEF
равен 60^{\circ}
. Найдите площадь треугольника DEF
, если известно, что DF=3
, EF=\frac{6}{\sqrt{3}}
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Применив теорему косинусов, найдите DE
из треугольника DEF
.
Решение. Обозначим DE=x
. Применяя теорему косинусов к треугольнику DEF
, получим уравнение
9=x^{2}+12-2\cdot x\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2},~\mbox{или}~x^{2}-2x\sqrt{3}+3=0,
откуда находим, что x=\sqrt{3}
.
Следовательно,
S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}\cdot ED\cdot EF\cdot\sin\angle DEF=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 2002 (вечернее отделение, отделение менеджмента), вариант 1, № 1
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 76