3749. Площадь четырёхугольника PQRS
равна 48. Известно, что PQ=QR=6
, RS=SP
и ровно три вершины P
, Q
и R
лежат на окружности радиуса 5. Найдите стороны RS
и SP
.
Ответ. 4\sqrt{13}
.
Указание. Пусть QD
— диаметр окружности. Тогда S_{PQRD}=48=S_{PQRS}
. Используя этот факт, докажите что точки Q
и S
лежат по одну сторону от прямой RP
.
Решение. Поскольку PQ=QR
и RS=SP
, то точки Q
и S
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку PR
. Поэтому прямая QS
проходит через центр данной окружности.
Рассмотрим случай, когда точки Q
и S
лежат по разные стороны от прямой RP
(рис. 1). Если QD
— диаметр окружности, то \angle QRS=90^{\circ}
. Поэтому
DR=\sqrt{QD^{2}-QR^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
В этом случае
S_{PQRD}=2\cdot S_{QRD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot QR\cdot RD=48=S_{PQRS}.
Это значит, что точка S
совпадает с точкой D
, что невозможно, поскольку по условию задачи ровно три вершины четырёхугольника PQRS
лежат на данной окружности.
Остаётся случай, когда точки Q
и S
лежат по одну сторону от прямой RP
(рис. 2). Пусть E
— середина PR
. Поскольку треугольник PQR
вписан в окружность радиуса 5, то
\sin\angle QRP=\frac{QP}{2\cdot5}=\frac{3}{5},
поэтому
QE=QR\cdot\sin\angle QRP=6\cdot\frac{3}{5}=\frac{18}{5},~ER=QR\cdot\cos\angle QRP=6\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{5},
а так как S_{PQRS}=\frac{1}{2}\cdot SQ\cdot PR
, то
SQ=2\cdot\frac{S_{PQRS}}{2\cdot ER}=2\cdot\frac{48}{\frac{48}{5}}=10.
По теореме косинусов из треугольника SQR
находим, что
SR^{2}=SQ^{2}+QR^{2}-2\cdot SQ\cdot QR\cdot\cos\angle SQR=100+36-120\cdot\cos(90^{\circ}+\angle QRP)=
=136+120\cdot\sin\angle QRP=136+120\cdot\frac{3}{5}=136+72=208.
Следовательно, SR=\sqrt{208}=4\sqrt{13}
.