3750. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если AB=BC=3\sqrt{3}
, AD=DC=\sqrt{13}
и вершина D
лежит на окружности радиуса 2, вписанной в угол ABC
, причём \angle ABC=60^{\circ}
.
Ответ. 3\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что точки B
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
.
Решение. Поскольку AB=BC
и AD=DC
, то точки B
и D
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Поэтому BD
— биссектриса угла ABC
. Значит, центр O
данной окружности лежит на луче BD
. Поскольку \angle ABC=60^{\circ}
, то треугольник ABC
— равносторонний.
Пусть точки B
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
(рис. 1), а E
— точка пересечения BD
и AC
. Поскольку E
— середина AC
, то
DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{13-\frac{27}{4}}=\frac{5}{2},
BE=AB\cdot\cos30^{\circ}=3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}.
Пусть M
— точка касания окружности с прямой AB
. Поскольку точка E
лежит на отрезке BD
, то BD=BE+ED=\frac{9}{2}+\frac{5}{2}=7
. В то же время, BO=2\cdot OM=4
и OD=2
, следовательно, BD=BO+OD=6
(если точка O
лежит на отрезке BD
), либо BD=BO-OD=4-2=2
(если точка O
лежит на продолжении отрезка BD
за точку D
), что невозможно.
Остаются случай, когда точки B
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
(рис. 2). Тогда
BD=BE-DE=\frac{9}{2}-\frac{5}{2}=2.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\sqrt{3}=3\sqrt{3}.