3753. В параллелограмме ABCD
диагонали пересекаются в точке O
, длина диагонали BD
равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD
и COD
, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB
, равен 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD
.
Ответ. \frac{192}{17}
или \frac{1728}{25}=69{,}12
.
Решение. Пусть ABCD
— данный параллелограмм, O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры окружностей, описанных около треугольников AOB
, BOC
, COD
и AOD
соответственно. Пусть \angle AOB=\varphi(0\lt\varphi\lt\pi)
.
Поскольку O_{1}O_{2}
, O_{2}O_{3}
, O_{3}O_{4}
и O_{1}O_{4}
— серединные перпендикуляры к отрезкам BO
, CO
, DO
и AO
соответственно, то O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— параллелограмм, причём \angle O_{1}O_{4}O_{3}=\angle AOB=\varphi
.
Пусть E
— проекция точки O_{3}
на прямую O_{1}O_{4}
. Поскольку AO=OC
, то O_{3}E=AO
. Тогда AO=O_{3}O_{4}\cdot\sin\varphi=16\sin\varphi
.
По теореме синусов для треугольника ABO
, в котором известен радиус описанной окружности R=5
, получаем, что AB=2R\cdot\sin\varphi=10\sin\varphi
.
В том же треугольнике BO=\frac{1}{2}BD
, следовательно, по теореме косинусов
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos\varphi,~\mbox{т. е.}~100\sin^{2}\varphi=256\sin^{2}\varphi+36-192\sin\varphi\cos\varphi.
или
3\ctg^{2}\varphi-16\ctg\varphi+16=0.
Это уравнение имеет два решения: \ctg\varphi=\frac{4}{3}
или \ctg\varphi=4
. Поэтому \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{17}}
или \sin\varphi=\frac{3}{5}
.
Если S
— площадь параллелограмма ABCD
, то
S=4\cdot S_{\triangle AOB}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot\sin\varphi=192\cdot\sin^{2}\varphi
В первом случае S=\frac{192}{17}
, во втором S=\frac{1728}{25}
.
Замечание. Два различных значения площади параллелограмма получаются потому, что центры описанных окружностей O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
, O_{4}
попарно могут лежать либо по разные стороны (первое значение в ответе), либо по одну сторону (второе значение) от прямой BD
.