3755. Трапеция с основанием \sqrt{8}
и высотой \sqrt{3}+\sqrt{2}
вписана в окружность радиуса \sqrt{5}
. Каждый из четырёх отсекаемых сторонами трапеции сегментов отражён внутрь трапеции симметрично относительно отсекающей его стороны. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отражённых внутрь неё сегментов.
Ответ. 8+4\sqrt{6}-10\arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)
.
Указание. Пусть K
и L
— отличные от A
и D
точки пересечения дуг, симметричных дугам исходной окружности относительно боковых сторон AB
и CD
и большего основания AD
трапеции ABCD
. Докажите, что точки K
и L
лежат внутри трапеции, а BCKL
— квадрат.
Решение. Пусть в трапеции ABCD
стороны AD
и BC
— основания, BC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
. Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная: AB=CD
. Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно. Тогда MN
— высота трапеции, MN=\sqrt{3}+\sqrt{2}
.
Центр O
описанной около трапеции окружности лежит на прямой MN
. Поскольку
MO=\sqrt{OC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}\lt MN,
точка O
лежит внутри трапеции. Тогда
NO=MN-MO=\sqrt{2},~AN=ND=\sqrt{OD^{2}-ON^{2}}=\sqrt{3}.
Следовательно, AD\gt BC
, поэтому \angle BAD=\angle CDA
— острые углы, а \angle ABC=\angle DCB
— тупые.
Дуги AB
, BC
, CD
и AD
отражаются внутрь трапеции симметрично относительно прямых AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Дуги, отражённые внутрь трапеции, далее будем называть внутренними.
Пусть XW
и YZ
— касательные, проведённые к окружности с центром O
в точках A
и B
соответственно, AW'
, AX'
, BY'
и BZ'
— лучи, симметричные лучам AW
, AX
, BY
и BZ
относительно прямых AB
, AD
, AB
и BC
соответственно. (Таким образом, AW'
касается внутренней дуги AB
в точке A
, AX'
касается внутренней дуги AD
и т. д.)
Пусть E
и F
— точки, симметричные точке O
относительно прямых AD
и CD
соответственно.
Заметим, что каждый из углов \angle WAB
, \angle XAD
— это угол между касательной и хордой, поэтому
\angle W'AB+\angle X'AD=\angle WAB+\angle XAD=\angle BCA+\angle ACD=\angle BCD\gt\angle BAD.
Это означает, что внутренние дуги AB
и AD
пересекаются внутри трапеции. Пусть K
— точка их пересечения.
Аналогично доказывается, что внутренние дуги CD
и AD
тоже пересекаются в некоторой точке L
, лежащей внутри трапеции.
В то же время
\angle Y'BA+\angle Z'BC=\angle YBA+\angle ZBC=\angle ADC\lt\angle ABC,
откуда следует, что внутренние дуги AB
и BC
не пересекаются внутри трапеции. Аналогично для внутренних дуг BC
и CD
.
Поскольку
OC=OD=FC=ED=EL=FL=\sqrt{5},
то OCFD
и ELFD
— ромбы, значит, OC\parallel FD\parallel EL
. Следовательно, EOCL
— параллелограмм, CL=OE=2\cdot ON=2\sqrt{2}
и CL\parallel OE
. Тогда BC=CL
и BC\perp CL
. Аналогично доказывается, что BC=BK
и BC\perp BK
. Значит, KBCL
— квадрат.
Таким образом, дуги BC
, BK
, CL
и KL
равны, так как это дуги равных окружностей, стягиваемые равными хордами. Дуги AB
и BC
не пересекаются внутри трапеции, следовательно, дуги BC
, BK
, CL
и KL
не пересекаются внутри квадрата KBCL
.
Пусть S_{1}
— площадь каждого из сегментов, отсекаемых равными хордами BC
, BK
, CL
и KL
от равных кругов. Площадь s
сегмента круга радиуса r
, дуга которого задаётся центральным углом \alpha
, вычисляется по формуле
s=\frac{r^{2}}{2}(\alpha-\sin\alpha).
В нашем случае
\sin\angle COM=\sqrt{\frac{2}{5}},~\cos\angle COM=\sqrt{\frac{3}{5}},
значит,
\sin\angle BOC=2\cdot\sin\angle COM\cdot\cos\angle COM=\frac{2\sqrt{6}}{5}.
Поэтому
S_{1}=\frac{5}{2}\left(\arcsin\frac{2\sqrt{6}}{5}-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right).
Пусть S
— искомая площадь фигуры, состоящей из всех точек трапеции, которые не принадлежат ни одному из отражённых внутрь неё сегментов. Тогда
S=BC^{2}-4\cdot S_{1}=8+4\sqrt{6}-10\arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right).