3759. В треугольнике ABC
известны стороны: BC=AC=12
, AB=6
; AD
— биссектриса. Найдите радиус R
окружности, описанной около треугольника ADC
. Выясните, что больше: R
или 6,5.
Ответ. R=8\sqrt{\frac{2}{3}}\gt6{,}5
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Воспользуйтесь также теоремой синусов: R=\frac{CD}{2\cdot\sin\angle CAD}
.
Решение. По теореме о биссектрисе треугольника \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}
, откуда находим, что CD=8
.
Обозначим \angle CAB=\alpha
. Пусть CM
— высота треугольника ABC
. Поскольку треугольник ABC
— равнобедренный, то AM=BM=3
. Из прямоугольного треугольника AMC
находим, что
\cos\angle CAB=\cos\alpha=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{4}.
Тогда
\sin\angle ACD=\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}.
Следовательно,
R=\frac{CD}{2\cdot\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{8}{2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}}=8\sqrt{\frac{2}{3}},
а так как 8\sqrt{\frac{2}{3}}\gt\frac{13}{2}
, то R\gt6{,}5
.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 1998, вариант 1, № 4