3763. Найдите радиус окружности, если вписанный в неё угол со сторонами, длины которых равны 1 и 2, опирается на дугу в 120^{\circ}
.
Ответ. R=1
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть A
— вершина данного угла, AC
и AB
— стороны угла, причём точки B
и C
лежат на окружности, AC=1
, AB=2
. По теореме о вписанном угле \angle BAC=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}
. По теореме косинусов
BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB\cdot\cos\angle BAC}=
=\sqrt{1+4-2\cdot1\cdot2\cdot\cos60^{\circ}}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}.
Если R
— искомый радиус, то
R=\frac{BC}{2\cdot\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 2000, вариант 1, № 2
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 86