3765. В треугольнике ABC
даны длины сторон AB=\sqrt{2}
, BC=\sqrt{5}
и AC=3
. Сравните величину угла BOC
и 112{,}5^{\circ}
, если O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности.
Ответ. \angle BOC=112{,}5^{\circ}
.
Указание. Примените теорему косинусов и формулу \angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
.
Решение. По теореме косинусов
\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{2+9-5}{2\cdot\sqrt{2}\cdot3}=\frac{1}{\sqrt{2}},
поэтому \angle BAC=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle BOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+22{,}5^{\circ}=112{,}5^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 2001, вариант 1, № 5
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 88