3767. В треугольнике ABC
даны длины сторон AB=8
, BC=6
и биссектриса BD=6
. Найдите длину медианы AE
.
Ответ. \frac{\sqrt{190}}{2}
.
Указание. Через точку D
проведите прямую DK
, параллельную стороне AB
(точка K
на стороне BC
). Тогда треугольник BKD
— равнобедренный.
Решение. Через точку D
проведём прямую DK
, параллельную стороне AB
(точка K
на стороне BC
). Тогда \angle BDK=\angle ABD=\angle DMK
, поэтому треугольник BKD
— равнобедренный, BK=DK
.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Треугольник DKC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{CD}{CA}=\frac{3}{7}
, поэтому BK=DK=\frac{3}{7}\cdot AB=\frac{3}{7}\cdot8=\frac{24}{7}
.
Обозначим \angle ABC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника BKD
находим, что
\cos\angle DBK=\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{1}{2}BD}{BK}=3:\frac{24}{7}=\frac{7}{8}.
Значит,
\cos\angle ABC=\cos\alpha=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1=2\cdot\frac{49}{64}-1=\frac{17}{32}.
Следовательно,
AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}-2\cdot AB\cdot BE\cdot\cos\alpha}=
=\sqrt{64+9-2\cdot8\cdot3\cdot\frac{17}{32}}=\sqrt{\frac{95}{2}}=\frac{\sqrt{190}}{2}.