3769. В правильный треугольник ABC
со стороной a
вписана окружность. Эта окружность касается внешним образом трёх других окружностей того же радиуса в точках касания сторон треугольника. Центры внешних окружностей — соответственно O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
. Найдите площадь шестиугольника, получающегося при пересечении треугольников ABC
и O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}
.
Указание. Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC
, вписана также и в треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, r
— её радиус. Тогда радиусы остальных окружностей также равны r
. Опустим перпендикуляр OH
на O_{1}O_{2}
. Из прямоугольного треугольника OHO_{1}
находим, что
OH=\frac{1}{2}\cdot OO_{1}=\frac{1}{2}\cdot2r=r.
Это значит, что прямая O_{1}O_{2}
касается окружности, вписанной в треугольник ABC
. Аналогично для O_{1}O_{3}
и O_{2}O_{3}
. Таким образом, окружность с центром O
вписана также и в треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
. При этом стороны этих треугольников соответственно параллельны.
При повороте на 60^{\circ}
относительно точки O
шестиугольник, упомянутый в условии задачи, переходит сам в себя, поэтому он — правильный. Пусть его сторона равна b
, а площадь S
. Тогда
b=\frac{r}{\sqrt{3}},~S=6\cdot br=\frac{6r^{2}}{\sqrt{3}}=2r^{2}\sqrt{3}.
Заметим, что r=\frac{a}{2\sqrt{3}}
. Следовательно, S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{6}
.