3771. На окружности радиуса 5, описанной около правильного треугольника, взята точка D
. Известно, что расстояние от точки D
до одной из вершин треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от точки D
до двух других вершин треугольника.
Ответ. 9.
Указание. Пусть расстояние от вершины A
треугольника ABC
до точки D
равно 9. Докажите, что точка D
лежит на меньшей дуге BC
и BD+CD=AD
.
Решение. Пусть расстояние от вершины A
треугольника ABC
до точки D
равно 9. Если a
— сторона равностороннего треугольника, а R
— радиус описанной около него окружности, то
a=2R\cdot\cos30^{\circ}=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
Поскольку AD=9\gt5\sqrt{3}=a
, то точка D
лежит на меньшей дуге BC
.
Отложим на луче AD
отрезок AK
, равный BD
. Тогда треугольник AKC
равен треугольнику BDC
по двум сторонам и углу между ними (\angle KAC=\angle DAC=\angle DBC
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому CK=CD
, а так как \angle KDC=\angle ADC=\angle ABC=60^{\circ}
, то треугольник CKD
— равносторонний, значит, DK=DC
.
Поскольку AK=BD\lt BC=a\lt AD
, то точка K
лежит на отрезке AD
. Следовательно,
BD+CD=AK+KD=AD=9.