3773. В прямоугольном треугольнике KLM
проведён отрезок MD
, соединяющий вершину прямого угла с точкой D
на гипотенузе KL
так, что длины отрезков DL
, DM
и DK
различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем \sqrt{2}
, причём DL=1
. Найдите величину угла KMD
.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Указание. Обозначьте \angle MKL
и найдите \cos\alpha
, применив теорему косинусов к треугольнику MDK
. Затем примените теорему синусов к треугольнику MKD
.
Решение. Поскольку длины отрезков DL
, DM
и DK
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем \sqrt{2}
, то
DM=DL\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2},~DK=DM\cdot\sqrt{2}=2.
Обозначим \angle MKL=\alpha
. Тогда KM=KL\cos\alpha=3\cos\alpha
. По теореме косинусов
MD^{2}=KM^{2}+KD^{2}-2\cdot KM\cdot KD\cdot\cos\alpha,~\mbox{или}~2=9\cos^{2}\alpha+4-2\cdot6\cos^{2}\alpha,
откуда находим, что \cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}
. Тогда \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}
.
Применяя теорему синусов к треугольнику MKD
, находим, что
\sin\angle KMD=KD\cdot\frac{\sin\alpha}{MD}=\frac{2\sin\alpha}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\sin\alpha=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}.
Поскольку угол KMD
— острый, то
\cos\angle KMD=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет государственного управления МГУ. — 2003, вариант 1, № 4
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 97