3775. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
, \angle BAC=45^{\circ}
. Прямая MN
пересекает сторону AC
в точке M
, а сторону BC
— в точке N
, AM=2\cdot MC
, \angle NMC=60^{\circ}
. Найдите отношение площади треугольника MNC
к площади четырёхугольника ABNM
.
Ответ. \frac{7-3\sqrt{3}}{11}
.
Указание. Обозначьте MC=a
и, применив теорему синусов, выразите через a
отрезок CN
из треугольника CMN
.
Решение. Обозначим MC=a
. Тогда AC=3a
, BC=\frac{3a}{\sqrt{2}}
.
По теореме синусов из треугольника MCN
находим, что
CN=MC\cdot\frac{\sin\angle NMC}{\sin\angle CNM}=a\cdot\frac{\sin60^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.
Тогда
S_{\triangle MNC}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot CN\cdot\sin45^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4},
S_{ABNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle MNC}=\frac{9a^{2}}{4}-\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}=\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNC}}{S_{ABNM}}=\frac{a^{2}(3-\sqrt{3})}{4}:\frac{a^{2}(6+\sqrt{3})}{4}=\frac{3-\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}=\frac{7-3\sqrt{3}}{11}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1999 (март), вариант 1, № 4