3777. На сторонах острого угла ABC
взяты точки A
и C
. Одна окружность касается прямой AB
в точке B
и проходит через точку C
. Вторая окружность касается прямой BC
в точке B
и проходит через точку A
. Точка D
— вторая общая точка окружностей. Известно, что AB=a
, CD=b
, BC=c
. Найти AD
.
Ответ. b\left(\frac{a}{c}\right)^{2}
.
Указание. Треугольники DBC
и DAB
подобны.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle DBC=\angle BAD,~\angle ABD=\angle BCD,
поэтому треугольники DBC
и DAB
подобны по двум углам.
Следовательно, \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{BC}
. Отсюда находим, что
BD=AB\cdot\frac{CD}{BC}=\frac{ab}{c},
а так как \frac{AD}{BD}=\frac{AB}{BC}
, то
AD=BD\cdot\frac{AB}{BC}=\frac{ab}{c}\cdot\frac{a}{c}=b\left(\frac{a}{c}\right)^{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1999 (март), вариант 1, № 6