3779. В треугольнике ABC
взяты точка N
на стороне AB
, а точка M
— на стороне AC
. Отрезки CN
и BM
пересекаются в точке O
, AN:NB=2:3
, BO:OM=5:2
. Найдите CO:ON
.
Ответ. \frac{5}{2}
.
Указание. Через вершину B
проведите прямую, параллельную AC
, и продолжите CN
до пересечения с этой прямой в точке K
. Рассмотрите подобные треугольники BOK
и MOC
Затем через вершину C
проведите прямую, параллельную AB
, и продолжите BM
до пересечения с этой прямой в точке L
. Тогда подобны треугольники CML
и AMB
.
Решение. Обозначим CM=a
, AN=2x
, BN=3x
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим CN
до пересечения с этой прямой в точке K
. Из подобия треугольников BOK
и MOC
следует, что
BK=CM\cdot\frac{BO}{OM}=a\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}a.
Из подобия треугольников BNK
и ANC
следует, что
AC=BK\cdot\frac{AN}{NB}=\frac{5}{2}a\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{3}a.
Поэтому AM=AC-MC=\frac{5}{3}a-a=\frac{2}{3}a
. Значит, \frac{AM}{MC}=\frac{2}{3}
. Тогда MN\parallel BC
.
Из подобия треугольников BOC
и MON
следует, что
\frac{CO}{ON}=\frac{BO}{OM}=\frac{5}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1999 (май), вариант 1, № 4