3781. В ромбе ABCD
высоты BP
и BQ
пересекают диагональ AC
в точках M
и N
(M
между A
и N
), AM=p
, MN=q
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{q(2p+q)}{p+q}
.
Указание. Треугольник AMP
подобен треугольнику CMB
, а треугольник BMN
— треугольнику BPQ
.
Решение. При симметрии относительно прямой BD
высота BP
переходит в высоту BQ
, точка P
— в точку Q
, точка M
— в точку N
. Отсюда следует, что PQ\parallel AC
и CN=AM
.
Треугольники AMP
и CMB
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BM}{MP}=\frac{CM}{AM}=\frac{CN+MN}{AM}=\frac{AM+MN}{AM}=\frac{p+q}{p}.
Треугольники BMN
и BPQ
также подобны, поэтому
\frac{PQ}{MN}=\frac{BP}{BM}=\frac{BM+MP}{BM}=1+\frac{MP}{BM}=1+\frac{p}{p+q}=\frac{2p+q}{p+q}.
Следовательно,
PQ=\frac{2p+q}{p+q}\cdot MN=\frac{2p+q}{p+q}\cdot q=\frac{q(2p+q)}{p+q}.