3785. Через точку N
проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром O
. На одной из этих прямых взята точка A
, а на другой прямой взята точка B
так, что OA=OB
, OA\gt ON
, NA\ne NB
. Известно, что NA=a
, NB=b
, OA=c
. Найдите ON
.
Ответ. \sqrt{c^{2}-ab}
.
Указание. Пусть окружность касается прямых NA
и NB
в точках P
и Q
соответственно. Тогда окружность вписана в угол PNQ
, а точки A
иB
лежат на сторонах одного из двух углов, смежных с углом PNQ
. Докажите, что отрезки AP
и BQ
равны и выразите их через a
, b
и c
.
Решение. Пусть окружность касается прямых NA
и NB
в точках P
и Q
соответственно. Тогда окружность вписана в угол PNQ
. Заметим, что поскольку OA=OB
и OA\gt ON
, то точки A
и B
лежат на сторонах одного из двух углов, смежных с углом PNQ
.
Прямоугольные треугольники AOP
и BOQ
равны по катету (OP=OQ
как радиусы окружности) и гипотенузе (OA=OB
по условию), поэтому AP=BQ
.
Из равенства NP=NQ
следует, что NA-AP=BQ-NB
, или a-AP=BQ-b
, а так как AP=BQ
, то AP=BQ=\frac{a+b}{2}
. Тогда NP=AN-AP=a-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}
.
Из прямоугольных треугольников AOP
и NOP
последовательно находим, что
OP^{2}=OA^{2}-AP^{2}=c^{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2},
ON^{2}=NP^{2}+OP^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}+c^{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=c^{2}-ab.
Следовательно, ON=\sqrt{c^{2}-ab}
.