3787. Точка C
делит хорду AB
окружности радиуса 6 на отрезки AC=4
и CB=5
. Найдите минимальное из расстояний от точки C
до точек окружности.
Ответ. 2.
Указание. Пусть O
— центр окружности. Продолжите отрезок OC
за точку C
до пересечения с окружностью в точке M
и, применив неравенство треугольника, докажите, что длина отрезка CM
есть наименьшее из расстояний от точки C
до точек окружности.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Продолжим отрезок OC
за точку C
до пересечения с окружностью в точке M
. Докажем, что длина отрезка CM
есть наименьшее из расстояний от точки C
до точек окружности.
Действительно, пусть X
— произвольная точка окружности, отличная от M
. Тогда
OC+CM=OM=OX\lt OC+CX,
(неравенство треугольника для треугольника OCX
). Откуда следует, что CM\lt CX
, что и требовалось доказать.
Продолжим отрезок CO
за точку O
до пересечения с окружностью в точке N
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CM\cdot CN=AC\cdot CB
, или CM\cdot(12-CM)=4\cdot5
. Учитывая условие CM\lt OM=6
, из полученного уравнения находим, что CM=2
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2002 (март), вариант 1, № 4