3795. В треугольнике ABC
известно, что AB=14
, BC=6
, AC=10
. Биссектрисы BD
и CE
пересекаются в точке O
. Найдите OD
.
Ответ. \sqrt{7}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Примените эту теорему к треугольникам ABC
и BCD
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.
Отсюда следует, что CD=3
. Аналогично находим, что
\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{CD}=\frac{6}{3}=2.
По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
\cos\angle ACB=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{100+36-196}{2\cdot10\cdot6}=-\frac{60}{120^{\circ}}=-\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle ACB=120^{\circ}
.
Затем по теореме косинусов из треугольника BCD
находим, что
BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2\cdot BC\cdot CD\cdot\cos120^{\circ}=36+9+18=63.
Следовательно,
BD=\sqrt{63}=3\sqrt{7},~\mbox{а}~OD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{7}=\sqrt{7}.