3797. Окружность проходит через вершину B
треугольника ABC
, касается стороны AC
в её середине D
и пересекает стороны AB
и BC
в точках M
и N
соответственно, AB:BC=3:2
. Найдите отношение площади треугольника AMD
к площади треугольника DNC
.
Ответ. 4:9
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей и теорему синусов.
Решение. Из теоремы о касательной и секущей следует, что
AM\cdot AB=AD^{2}=CD^{2}=CN\cdot BC,
Откуда находим, что \frac{AM}{CN}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}
.
По теореме синусов
\frac{\sin\angle BAC}{\sin\angle ACB}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle AMD}}{S_{\triangle DNC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AD\cdot\sin\angle BAC}{\frac{1}{2}\cdot CN\cdot CD\cdot\sin\angle ACB}=\frac{AM}{CN}\cdot\frac{AD}{CD}\cdot\frac{\sin\angle BAC}{\sin\angle ACB}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2002 (май), вариант 1, № 6