3805. В треугольнике ABC
отрезок AD
— медиана, AD=m
, AB=a
, AC=b
. Найдите \angle BAC
.
Ответ. \arccos\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}
.
Указание. Достройте данный треугольник ABC
до параллелограмма ABKC
и примените теорему косинусов.
Решение. На продолжении медианы AD
за точку D
отложим отрезок DK
, равный AD
. Диагонали BC
и AK
четырёхугольника ACKB
делятся точкой пересечения D
пополам, значит, ACKB
— параллелограмм. Поэтому CK=AB=a
.
Применив теорему косинусов к треугольнику ACK
, находим, что
\cos\angle ACK=\frac{AC^{2}+CK^{2}-AK^{2}}{2\cdot AC\cdot CK}=\frac{b^{2}+a^{2}-4m^{2}}{2ba},
а так как \angle BAC=180^{\circ}-\angle ACK
, то
\cos\angle BAC=-\cos\angle ACK=\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}.
Следовательно, \angle BAC=\arccos\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2000 (март), вариант 1, № 4
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 2.9, с. 17