3811. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
(AB\ne AC
) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD
в точке M
, AD=a
, MD=b
, H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Найдите AH
.
Ответ. \frac{a^{2}-b^{2}}{a}
.
Указание. Продолжите высоту AD
за точку D
до пересечения с окружностью в точке Q
. Тогда AK\cdot AC=AM\cdot AQ
. Докажите также, что AK\cdot AC=AH\cdot AD
.
Решение. Пусть окружность с диаметром BC
пересекается с прямой AC
в точке K
. Поскольку BK
— высота остроугольного треугольника ABC
, то точка K
лежит на стороне AC
. Продолжим высоту AD
за точку D
до пересечения с окружностью в точке Q
. Тогда DQ=MD=b
. По следствию из теоремы о касательной и секущей
AK\cdot AC=AM\cdot AQ=(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Из подобия прямоугольных треугольников AKH
и ADC
следует, что \frac{AK}{AH}=\frac{AD}{AC}
, откуда
AK\cdot AC=AH\cdot AD=AH\cdot a.
Таким образом, получаем уравнение AH\cdot a=a^{2}-b^{2}
, из которого находим, что AH=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2000 (май), вариант 1, № 8