3815. В треугольнике ABC
известно, что AB=a
, AC=b
, точка O
— центр описанной окружности. Прямая BD
, перпендикулярная прямой AO
, пересекает сторону AC
в точке D
. Найдите CD
.
Ответ. \frac{b^{2}-a^{2}}{b}
.
Указание. Докажите, что треугольники ABD
и ACB
подобны.
Решение. Пусть продолжение отрезка BD
за точку D
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке P
. Тогда хорда BP
перпендикулярна диаметру AA_{1}
этой окружности. Значит, точка A
— середина дуги, не содержащей вершину C
. Отсюда следует, что \angle ABD=\angle ABP=\angle ACB
(как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги). Поэтому треугольники ABD
и ACB
подобны по двум углам (угол A
— общий). Следовательно,
\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC},~\mbox{или}~\frac{AD}{a}=\frac{a}{b},
откуда находим, что AD=\frac{a^{2}}{b}
и CD=AC-AD=b-\frac{a^{2}}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{b}
.