3817. В треугольнике ABC
проведены медианы AN
и CM
, \angle ABC=120^{\circ}
. Окружность, проходящая через точки A
, M
и N
, проходит также через точку C
. Радиус этой окружности равен 7. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 7\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что данный треугольник — равнобедренный, найдите AN
, а для нахождения сторон данного треугольника примените теорему косинусов к треугольнику ABN
.
Решение. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel AC
, поэтому AMNC
— трапеция, а так как трапеция вписана в окружность, то она — равнобедренная. Поскольку AB=2\cdot AM=2\cdot CN=BC
, то треугольник ABC
— также равнобедренный, поэтому \angle BAC=\angle BCA=30^{\circ}
.
Если R
— радиус окружности, то
AN=2R\cdot\sin\angle ACN=2R\cdot\sin30^{\circ}=R=7.
Обозначим CN=AM=x
. Тогда AB=BC=2x
. По теореме косинусов в треугольнике ABN
имеем:
AN^{2}=AB^{2}+BN^{2}-2\cdot AB\cdot BN\cdot\cos120^{\circ},~\mbox{или}~49=4x^{2}+x^{2}+2x^{2}.
Отсюда находим, что x^{2}=7
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle ABC=
=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot2x\cdot\sin120^{\circ}=2x^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=x^{2}\sqrt{3}=7\sqrt{3}.