3819. На стороне острого угла KOM
взята точка L
(L
между O
и K
). Окружность проходит через точки K
и L
и касается луча OM
в точке M
. На дуге LM
, не содержащей точки K
, взята точка N
. Расстояния от точки N
до прямых OM
, OK
и KM
равны m
, k
и l
соответственно. Найдите расстояние от точки N
до прямой LM
.
Ответ. \frac{mk}{l}
.
Указание. Пусть точки P
, Q
, R
и S
— проекции точки N
на прямые OM
, OK
, KM
и LM
соответственно. Докажите подобие треугольников NQS
и NRP
Решение. Пусть точки P
, Q
, R
и S
— проекции точки N
на прямые OM
, OK
, KM
и LM
соответственно. Поскольку отрезок NL
виден из точек Q
и S
под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром NL
. Аналогично докажем, что точки P
и R
лежат на окружности с диаметром NM
.
Тогда по теореме о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну дугу, по теореме об угле между касательной и хордой, а также по теореме о противоположных углах вписанного четырёхугольника
\angle NQS=\angle NLS=\angle NLM=\angle NKM=\angle NMP=\angle NRP,
\angle NSQ=\angle NLQ=180^{\circ}-\angle NLK=\angle NMK=\angle NMR=\angle NPR.
Значит, треугольники NQS
и NRP
подобны по двум углам. Поэтому
\frac{NS}{NP}=\frac{NQ}{NR},~\mbox{или}~\frac{NS}{m}=\frac{k}{l}.
Следовательно, NS=\frac{mk}{l}
.