3821. В треугольнике ABC
угол \angle B
— тупой, продолжение высот AM
и CN
пересекаются в точке O
, \angle BAC=\alpha
, \angle BCA=\gamma
, AC=b
. Найдите расстояние от точки O
до прямой AC
.
Ответ. b\cdot\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}
.
Указание. Высота OH
остроугольного треугольника AOC
проходит через точку B
.
Решение. Пусть H
— проекция точки O
на AC
. Поскольку AN
, CM
и OH
— высоты остроугольного треугольника AOC
, то прямая OH
проходит через точку B
(высоты треугольника пересекаются в одной точке), при этом точка H
лежит на отрезке AC
, \angle AOH=\angle ACM=\gamma
, \angle COH=\angle CAN=\alpha
.
Обозначим OH=x
. Из прямоугольных треугольников AHO
и CHO
находим, что
AH=OH\cdot\tg\angle AOH=x\tg\gamma,~CH=OH\cdot\tg\angle COH=x\tg\alpha.
Поскольку AH+HB=AC
, имеем уравнение
x\tg\gamma+x\tg\alpha=b.
Откуда находим, что
OH=x=\frac{b}{\tg\gamma+\tg\alpha}=\frac{b\cos\alpha\cos\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}.