3823. На прямой взяты три различные точки L
, M
и N
(M
между L
и N
, LN\ne MN
). На отрезках LM
, MN
и LN
как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки A
, B
и C
. Точка C
лежит по одну сторону, а точки A
и B
— по другую сторону от прямой LN
. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника ABC
.
Ответ. \pi
.
Указание. Пусть E
и F
— проекции центров полуокружностей с диаметрами LM=2r
и MN=2R
на касательную к полуокружности с диаметром LN
, проведённую через точку C
, P
— проекция точки B
на прямую AE
. Тогда площадь треугольника равна разности площадей прямоугольника PEFB
и трёх прямоугольных треугольников.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O
— центры окружностей с диаметрами LM
, MN
и LN
соответственно, r
и R
— радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда радиус окружности с центром O
равен r+R
. Известно, что r\ne R
. Предположим, что r\lt R
.
Указанная в условии фигура состоит из полуокружностей радиусов r
, R
и R+r
. Если S
— её площадь, то
S=\frac{1}{2}\pi r^{2}+\frac{1}{2}\pi R^{2}+\frac{1}{2}\pi(r+R)^{2}=\pi(R^{2}+rR+r^{2}).
Пусть E
и F
— проекции точек соответственно O_{1}
и O_{2}
на касательную к полуокружности с центром O
, проведённую через точку C
. Поскольку точки A
и B
— середины соответствующих полуокружностей, то точки A
, O_{1}
и E
лежат на одной прямой и точки B
, O_{2}
и F
также лежат на одной прямой.
Пусть P
— проекция точки B
на прямую AE
. Поскольку O_{1}A=r\lt R=O_{2}B
, то точка A
лежит между точками O_{1}
и P
, причём O_{1}P=R-r
.
Заметим, что площадь треугольника ABC
равна площади прямоугольника PEFB
без площадей трёх прямоугольных треугольников O_{1}PO_{2}
, BEO_{1}
и BFO_{2}
. Поскольку
CE=OO_{1}=R,~CF=OO_{2}=r,~EF=r+R,~BF=2R+r,~AE=2r+R,
то
S_{PEFB}=EF\cdot FB=(r+R)(2R+r),~S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot PA=\frac{1}{2}(R+r)(R-r),~
S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}\cdot CE\cdot EA=\frac{1}{2}R(2r+R),~S_{\triangle BFC}=\frac{1}{2}\cdot CF\cdot FB=\frac{1}{2}r(2R+r).
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=(r+R)(2R+r)-\frac{1}{2}((R+r)(R-r)+R(2r+R)+r(2R+r))=
=R^{2}+rR+r^{2}.
Значит,
\frac{S}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\pi(R^{2}+Rr+r^{2})}{R^{2}+rR+r^{2}}=\pi.
.