3829. Четырёхугольник ABCD
с перпендикулярными диагоналями вписан в окружность радиуса R
. Докажите, что
AB\cdot AD+CB\cdot CD=2R\cdot AC.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, а \angle BAD=\alpha
. Тогда
2S_{\triangle BAD}=AB\cdot AD\sin\alpha=BD\cdot AP,
2S_{\triangle BCD}=CB\cdot CD\sin(180^{\circ}-\alpha)=CB\cdot CD\sin\alpha=BD\cdot CP,
откуда
AB\cdot AD=\frac{2S_{\triangle BAD}}{\sin\alpha},~CB\cdot CD=\frac{2S_{\triangle BCD}}{\sin\alpha}.
По теореме синусов \frac{BD}{\sin\alpha}=2R
, поэтому
AB\cdot AD+CB\cdot CD=\frac{2S_{\triangle BAD}}{\sin\alpha}+\frac{2S_{\triangle BCD}}{\sin\alpha}=
=\frac{BD\cdot AP}{\sin\alpha}+\frac{BD\cdot CP}{\sin\alpha}=\frac{BD}{\sin\alpha}\cdot AP+\frac{BD}{\sin\alpha}\cdot CP=
=\frac{2R\sin\alpha}{\sin\alpha}\cdot AP+\frac{2R\sin\alpha}{\sin\alpha}\cdot CP=2R(AP+CP)=2R\cdot AC.
Что и требовалось доказать.