3831. Дан треугольник ABC
с основанием AB
, равным \frac{\sqrt{3}}{2}
, и высотой CH
, опущенной на это основание и равной \frac{\sqrt{6}}{3}
. Известно, что точка H
лежит на AB
и AH:HB=2:1
. В угол ABC
треугольника ABC
вписана окружность, центр которой лежит на высоте CH
. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{12}
.
Указание. Центр указанной окружности делит высоту CH
на отрезки, пропорциональные отрезкам BH
и CH
.
Решение. Пусть O
— центр указанной окружности, r
— её радиус. Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то BO
— биссектриса треугольника BHC
, а так как OH\perp AB
, то OH
— радиус окружности. В этом треугольнике
CH=\frac{\sqrt{6}}{3},~BH=\frac{1}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{6},~BC=\sqrt{CH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{\frac{6}{9}+\frac{3}{36}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{OH}{OC}=\frac{BH}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
r=\frac{1}{4}\cdot CH=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1999 (июль), вариант 1, № 6