3832. Дан треугольник KLM
с основанием KM
, равным \frac{\sqrt{3}}{2}
, и стороной KL
, равной 1. Через точки K
и L
проведена окружность, центр которой лежит на высоте LF
, опущенной на основание KM
. Известно, что FM=\frac{\sqrt{3}}{6}
, а точка F
лежит на KM
. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Ответ. \frac{3}{8}\pi
.
Указание. Опустите из центра O
указанной окружности перпендикуляр OA
на хорду KL
и рассмотрите прямоугольные треугольники FKL
и AOL
.
Решение. Поскольку точка F
лежит на отрезке KM
, то
KF=KM-FM=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Опустим из центра O
указанной окружности радиуса R
перпендикуляр OA
на хорду KL
. Тогда A
— середина KL
. Обозначим \angle FLK=\alpha
. Из прямоугольного треугольника FKL
находим, что \sin\alpha=\frac{FK}{KL}=\frac{\sqrt{3}}{3}
. Тогда \cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Из прямоугольного треугольника OAL
находим, что
R=OL=\frac{AL}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.
Следовательно, площадь круга равна \pi R^{2}=\frac{3}{8}\pi
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1999 (июль), вариант 2, № 6