3833. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Длины противоположных сторон AB
и CD
соответственно равны 9 и 4, AC=7
, BD=8
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{1820\sqrt{21}}{341}
.
Указание. Обозначьте \angle ABD=\angle ACD=\alpha
, \angle BAC=\angle BDC=\beta
. Выразите из треугольников ABD
и ACD
квадрат их общей стороны BC
и найдите \cos\alpha
. Аналогично найдите \cos\beta
.
Решение. Обозначим \angle ABD=\angle ACD=\alpha
, \angle BAC=\angle BDC=\beta
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и ACD
AD^{2}=9^{2}+8^{2}-2\cdot9\cdot8\cdot\cos\alpha=145-144\cos\alpha~\mbox{и}
AD^{2}=7^{2}+4^{2}-2\cdot7\cdot4\cdot\cos\alpha=65-56\cos\alpha.
Из уравнения 145-144\cos\alpha=65-56\cos\alpha
находим, что \cos\alpha=\frac{10}{11}
. Тогда \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{21}}{11}
. Следовательно,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD\cdot\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot9\cdot8\cdot\frac{\sqrt{21}}{11}=\frac{36\sqrt{21}}{11}.
По теореме косинусов из треугольников BAC
и BDC
BC^{2}=9^{2}+7^{2}-2\cdot9\cdot7\cdot\cos\beta=130-126\cos\beta~\mbox{и}
BC^{2}=8^{2}+4^{2}-2\cdot8\cdot4\cdot\cos\beta=80-64\cos\beta.
Из уравнения 130-126\cos\beta=80-64\cos\beta
находим, что \cos\beta=\frac{25}{31}
. Тогда \sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\frac{4\sqrt{21}}{31}
. Следовательно,
S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CD\cdot\sin\beta=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\cdot\frac{4\sqrt{21}}{31}=\frac{64\sqrt{21}}{31}.
Значит,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDC}=\frac{36\sqrt{21}}{11}+\frac{64\sqrt{21}}{31}=\frac{1820\sqrt{21}}{341}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1999, вариант 1, № 5