3839. В треугольнике ABC
угол \angle B
равен \frac{\pi}{6}
. Через точки A
и B
проведена окружность радиуса 2 см, касающаяся прямой AC
в точке A
. Через точки B
и C
проведена окружность радиуса 3 см, касающаяся прямой AC
в точке C
. Найдите длину стороны AC
.
Ответ. \sqrt{6}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой об угле между касательной и хордой, затем примените теорему синусов.
Решение. Пусть O_{1}
— центр окружности радиуса R_{1}=2
, O_{2}
— центр окружности радиуса R_{2}=3
. Обозначим \angle ACB=\alpha
, \angle BAC=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CO_{2}B=2\alpha
(или 180^{\circ}-2\alpha
) и \angle AO_{1}B=2\beta
(или 180^{\circ}-2\beta
). Тогда
AB=2R_{1}\cdot\sin\beta=4\sin\beta,~BC=2R_{2}\cdot\sin\alpha=6\sin\alpha.
По теореме синусов
\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta},~\mbox{или}~\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}.
Отсюда находим, что \frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}
.
Из равенства \frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}
следует, что
AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin\frac{\pi}{6}=2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1999 (июль), вариант 1, № 4