3841. В трапеции с основаниями 3 и 4 найдите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего площадь трапеции в отношении 5:2
, считая от меньшего основания.
Ответ. \sqrt{14}
.
Указание. Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения и рассмотрите образовавшиеся при этом подобные треугольники.
Решение. Пусть боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
с основаниями AD=4
и BC=3
пересекаются в точке K
, а точки M
и N
лежат на боковых сторонах AB
и CD
соответственно, причём \frac{S_{ABMD}}{S_{MBCN}}=\frac{2}{5}
. Обозначим S_{AMND}=2s
, S_{MBCN}=5s
, S_{\triangle BKC}=x
.
Из подобия треугольников BKC
и AKD
следует, что
\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{\triangle AKD}}=\frac{BC^{2}}{AD^{2}}=\frac{9}{16},~\mbox{или}~\frac{x}{x+7s}=\frac{9}{16}.
Из этого уравнения находим, что x=9s
.
Из подобия треугольников BKC
и MKN
следует, что
MN=BC\cdot\frac{\sqrt{S_{\triangle MKN}}}{\sqrt{S_{\triangle BKC}}}=3\cdot\frac{\sqrt{14s}}{\sqrt{9s}}=\sqrt{14}.