3844. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
, AB=BC
, DB
— биссектриса угла D
, \angle ABC=100^{\circ}
, \angle BEA=70^{\circ}
. Найдите угол CAD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Пусть F
— точка, симметричная вершине A
относительно прямой BD
. Тогда точки C
, F
, B
и E
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольник ABC
— равнобедренный, поэтому \angle CAB=\angle ACB=40^{\circ}
. Тогда
\angle ABE=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ},~\angle CBE=\angle CBA-\angle ABE=100^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть F
— точка, симметричная вершине A
относительно прямой BD
. Поскольку DB
— биссектриса угла ADC
, то точка F
лежит на луче DC
, \angle BFE=\angle BAE=40^{\circ}=\angle BCE
. Таким образом, отрезок BE
виден из точек C
и F
под одним углом, причём точки C
и F
лежат по одну сторону от прямой BE
. Значит, точки C
, F
, B
и E
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle CFE=\angle CBE=30^{\circ}.
Следовательно,
\angle CAD=\angle DFE=\angle CFE=30^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1999 (март), вариант 2, № 4