3852. В трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=8
и CD=5
биссектриса угла B
пересекает биссектрисы углов A
и C
в точках M
и N
соответственно, а биссектриса угла D
пересекает те же две биссектрисы в точках L
и K
, причём точка L
лежит на основании BC
.
а) В каком отношении прямая MK
делит сторону AB
, а прямая LN
— сторону AD
?
б) Найдите отношение KL:MN
, если LM:KN=4:7
.
Ответ. а) 1:1
; 5:8
; б) 5:14
.
Указание. Треугольники ABL
и DCL
— равнобедренные, MK\parallel BC\parallel AD
, точки M
, L
, K
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку AL
— биссектриса угла BAD
, а прямые AD
и BC
параллельны, то \angle BAL=\angle DAL=\angle BLA
, поэтому треугольник ABL
— равнобедренный. Значит, BL=AB=8
и биссектриса BM
этого треугольника является его медианой и высотой, т. е. AM=ML
и BM\perp AL
. Аналогично докажем, что CL=CD=5
, LK=KD
и CK\perp DL
.
Таким образом, MK
— средняя линия треугольника ALD
, поэтому прямая MK
параллельна основаниям трапеции, а точка E
пересечения прямых MK
и AB
— середина стороны AB
. Следовательно, AE:BE=1:1
.
Пусть прямая LN
пересекает прямые AD
и MK
в точках P
и Q
соответственно. Поскольку MK\parallel AD
и MK\parallel BC
, то AP:PD=MQ:QK=BL:LC=8:5
.
Отрезок LN
виден из точек M
и K
под прямым углом, значит точки M
и K
лежат на окружности с диаметром LN
. Поэтому \angle LMQ=\angle LMK=\angle LNK=\angle QNK
и треугольники LMQ
и KNQ
подобны по двум углам. Тогда LQ:QK=LM:KN
, откуда находим, что LQ=QK\cdot\frac{LM}{KN}=\frac{4}{7}\cdot QK
.
Из подобия треугольников KQL
и NQM
следует, что
\frac{KL}{MN}=\frac{LQ}{QM}=\frac{\frac{4}{7}\cdot QK}{QM}=\frac{4}{7}\cdot\frac{QK}{QM}=\frac{4}{7}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{14}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1999 (июль), вариант 2, № 4