3854. В треугольнике ABC
проведена средняя линия MN
, соединяющая стороны AB
и BC
. Окружность, проведённая через точки M
, N
и C
, касается стороны AB
, а её радиус равен \sqrt{2}
. Длина стороны AC
равна 2. Найдите синус угла ACB
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей, а также теорему синусов к треугольнику BMN
.
Решение. Обозначим BN=NC=x
, \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\beta
.
По теореме о касательной и секущей
BM=\sqrt{BN\cdot BC}=\sqrt{x\cdot2x}=x\sqrt{2}.
По теореме о средней линии треугольника MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot2=1
и MN\parallel AC
. Поэтому \angle BMN=\angle BAC=\alpha
и \angle BNM=\angle ACB=\beta
.
По теореме об угле между касательной и хордой \angle NCM=\angle BMN=\alpha
. Если R
радиус данной окружности, то MN=2R\cdot\sin\angle MCN
, или 1=2\sqrt{2}\sin\alpha
, откуда находим, что \sin\alpha=\frac{1}{2\sqrt{2}}
.
По теореме синусов
\frac{BM}{\sin\angle BNM}=\frac{BN}{\sin\angle BMN},~\mbox{или}~\frac{x\sqrt{2}}{\sin\beta}=\frac{x}{\sin\alpha}.
Следовательно,
\sin\beta=\sqrt{2}\cdot\sin\alpha=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.