3858. В треугольнике ABC
медиана AK
пересекает медиану BD
в точке L
. Найдите площадь треугольника ABC
, если площадь четырёхугольника KCDL
равна 5.
Ответ. 15.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
Решение. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому KL=\frac{1}{3}AK
. Поскольку у треугольников BKL
и BKA
общая высота, проведённая из вершины B
, то
S_{\triangle BKL}=\frac{1}{3}S_{\triangle BKA}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}.
Поскольку S_{\triangle BKL}=S_{\triangle BDC}-S_{KCDL}
и S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}
, получаем уравнение
\frac{1}{6}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}-5,
откуда находим, что S_{\triangle ABC}=3\cdot5=15
.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1999, вариант 1, № 3