3860. В треугольнике ABC
биссектриса AD
угла A
и биссектриса BL
угла B
пересекаются в точке F
. Величина угла LFA
равна 60^{\circ}
.
1) Найдите величину угла ACB
.
2) Вычислите площадь треугольника ABC
, если \angle CLD=45^{\circ}
и AB=2
.
Ответ. 1) 60^{\circ}
; 2) \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Указание. Если \angle ACB=\alpha
, то \angle LFA=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\alpha,~\angle LFA=\angle FAB+\angle FBA=\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CBA)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
Поскольку \angle LFA=60^{\circ}
, то \frac{\alpha}{2}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}
. Следовательно, \angle ACB=\alpha=60^{\circ}
.
Поскольку \angle LFD=180^{\circ}-\angle AFL=120^{\circ}
, то около четырёхугольника FLCD
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы CFD
и CLD
опираются на одну дугу, значит, \angle CFD=\angle CLD=45^{\circ}
. Тогда \angle AFC=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}
.
Применив те же рассуждения, что и при вычислении угла ACB
, получим, что \angle ABC=90^{\circ}
. Таким образом, треугольник ABC
— прямоугольный, BC=AB\cdot\ctg60^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1999 (май), вариант 1, № 4