3870. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность, касающаяся прямой BC
, а через вершины B
и C
— другая окружность, касающаяся прямой AB
. Продолжение общей хорды BD
этих окружностей пересекает отрезок AC
в точке E
, а продолжение хорды AD
одной окружности пересекает другую окружность в точке F
. Найдите отношение AE:EC
, если AB=5
и BC=9
. Сравните площади треугольников ABC
и ABF
.
Ответ. \frac{25}{81}
, одинаковы.
Указание. Треугольники ABD
и BCD
подобны с коэффициентом \frac{5}{9}
. Прямые FC
и AB
параллельны.
Решение. Обозначим \angle CBD=\alpha
, \angle ABD=\beta
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle BAD=\angle CBD=\alpha
, \angle BCD=\angle ABD=\beta
. Поэтому треугольники ABD
и BCD
подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{AB}{BC}=\frac{5}{9}
. Поэтому
AD=\frac{5}{9}\cdot BD~\mbox{и}~DC=\frac{9}{5}\cdot BD.
Значит, \frac{AD}{DC}=\frac{25}{81}
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADE=\angle ABD+\angle BAD=\beta+\alpha~\mbox{и}~\angle CDE=\angle CBD+\angle BCD=\alpha+\beta=\angle ADE.
Поэтому DE
— биссектриса треугольника ADC
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DC}=\frac{25}{81}
.
Поскольку \angle DFC=\angle DBC=\angle BAD
, то FC\parallel AB
. Поэтому высоты треугольников ABC
и ABF
, опущенные из вершин F
и C
на общее основание AB
, равны. Следовательно, треугольники ABC
и ABF
равновелики.