3871. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
, AC=4\sqrt{3}
, радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE
пересекает высоту BD
в точке E
, а вписанную окружность — в точках M
и N
(M
лежит между A
и E
), ED=2
. Найдите EN
.
Ответ. \frac{1+\sqrt{33}}{2}
.
Указание. Обозначьте ME=x
, EN=y
. Применяя теорему о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности и теорему о касательной и секущей, составьте систему уравнений относительно x
и y
.
Решение. Пусть вписанная в треугольник ABC
окружность вторично пересекает высоту BD
в точке K
. Обозначим ME=x
, EN=y
. По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности ME\cdot EN=DE\cdot EK
, или xy=2\cdot4=8
.
Из прямоугольного треугольника AED
находим, что
AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=4.
По теореме о касательной и секущей AM\cdot AN=AD^{2}
, или (4-x)(4+y)=12
. Из системы
\syst{xy=8\\(4-x)(4+y)=12\\}
находим, что y=\frac{1+\sqrt{33}}{2}
.