3875. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Известно, что AC\perp BD
. Найдите длину BC
, если расстояние от центра окружности до стороны AD
равно 2.
Ответ. 4.
Указание. Проведите диаметр BB_{1}
. Тогда CB_{1}=AD
.
Решение. Пусть B_{1}
— точка, диаметрально противоположная точке B
. Поскольку B_{1}D\perp BD
(BB_{1}
— диаметр окружности) и AC\perp BD
, то B_{1}D\parallel AC
. Поэтому CB_{1}=AD
, а так как равные хорды равноудалены от центра окружности, то расстояние OM
от центра O
окружности до хорды B_{1}C
также равно 2.
Поскольку OM\perp B_{1}C
, BC\perp B_{1}C
и O
— середина BB_{1}
, то OM
— средняя линия прямоугольного треугольника BCB_{1}
. Следовательно, BC=2\cdot OM=2\cdot2=4
.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 2003 (июль), вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 70