3876. В ромбе ABCD
через точки A
, B
, C
проведена окружность с центром в точке O_{1}
, а через точки A
, B
, D
проведена окружность с центром в точке O_{2}
. Известно, что отношение длины отрезка O_{1}O_{2}
к длине отрезка AO_{2}
равно 4. Найдите величину угла DAO_{2}
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{6}-2}{2}
.
Указание. Составьте тригонометрическое уравнение относительно искомого угла.
Решение. Обозначим O_{2}A=O_{2}B=x
, \angle BAO_{2}=\angle ABO_{2}=\alpha
. Пусть M
— середина AB
. Тогда точки O_{1}
, O_{2}
и M
лежат на серединном перпендикуляре к общей хорде AB
, \angle AO_{1}M=\angle BO_{1}M=\alpha
.
Из прямоугольных треугольников MO_{2}A
и MO_{1}A
находим, что
AM=AO_{2}\cos\angle MAO_{2}=x\cos\alpha,~MO_{2}=AO_{2}\sin\angle MAO_{2}=x\sin\alpha,
MO_{1}=AM\ctg\angle AO_{1}M=x\cos\alpha\cdot\ctg\alpha.
Поскольку MO_{1}=O_{2}M+O_{1}O_{2}
, имеем уравнение
x\cos\alpha\cdot\ctg\alpha=x\sin\alpha+4x,~\mbox{или}~2\sin^{2}\alpha+4\sin\alpha-1=0,
откуда находим, что \sin\alpha=\frac{\sqrt{6}-2}{2}
.