3877. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) медианы AM
и CN
пересекаются в точке D
под прямым углом. Найдите все углы треугольника ABC
и площадь четырёхугольника NBMD
, если основание AC=1
.
Ответ. \angle A=\angle C=\arctg3
; \angle B=\pi-2\arctg3
; \frac{1}{4}
.
Указание. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1
, считая от вершины.
Решение. Поскольку треугольник равнобедренный, его медианы, проведённые к боковым сторонам, равны, т. е. AM=CN
.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому CD=\frac{2}{3}\cdot CN=\frac{2}{3}\cdot AM=AD
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC
находим, что CD=AC\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Тогда
DM=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot CD=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Из прямоугольного треугольника MDC
находим, что
CM=\sqrt{CD^{2}+DM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{8}}.
Значит, BC=2\cdot CM=2\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Тогда H
— середина AC
. Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
BH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
\tg\angle BAC=\tg\angle BCA=\frac{BH}{CH}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, то MN=\frac{1}{2}\cdot AC=\frac{1}{2}
и MN\parallel AC
. Поэтому MN\perp BH
.
Диагонали MN=\frac{1}{2}
и BD=\frac{2}{3}\cdot BH=1
четырёхугольника NBMD
перпендикулярны, следовательно,
S_{NBMD}=\frac{1}{2}\cdot NM\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{4}.