3880. На продолжении стороны BC
параллелограмма ABCD
за точку C
взята точка F
. Отрезок AF
пересекает диагональ BD
в точке E
, а сторону CD
— в точке G
, причём GF=3
, а AE
на 1 больше EG
. Какую часть площади параллелограмма ABCD
составляет площадь треугольника ADE
?
Ответ. \frac{1}{6}
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников: CGF
и DGA
, FEB
и AED
.
Решение. Обозначим AD=BC=a
, EG=x
. Тогда AE=x+1
.
Из подобия треугольников CGF
и DGA
следует, что
CF=AD\cdot\frac{FG}{AG}=a\cdot\frac{3}{2x+1}.
Значит, BF=BC+CF=a+a\cdot\frac{3}{2x+1}
. Из подобия треугольников FEB
и AED
следует, что
BF=AD\cdot\frac{FE}{AE}=a\cdot\frac{3+x}{x+1}.
Из уравнения
a+a\cdot\frac{3}{2x+1}=a\cdot\frac{3+x}{x+1}
находим, что x=1
. Поэтому BF=a+a=2a
.
Поскольку BE:ED=BF:AD=2:1
, то
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ABD}=\frac{1}{6}S_{ABCD}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1998 (март), вариант 1, № 4