3882. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
диагонали BE
и CE
являются биссектрисами углов при вершинах B
и C
соответственно, \angle A=35^{\circ}
, \angle D=145^{\circ}
, а площадь треугольника BCE
равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE
.
Ответ. 22.
Решение. Заметим, что углы BCE
и CBE
острые (как половины внутренних углов выпуклого многоугольника). Поскольку углы при общей вершине C
треугольников CDE
и CBE
равны, а \angle CDE\gt\angle CBE
(один — тупой, второй — острый), то \angle CED\lt\angle CEB
. Поэтому, если от луча EC
в полуплоскость, содержащую точку B
, отложить луч под углом, равным углу CED
, то отложенный луч будет лежать между сторонами угла CEB
, а значит, будет пересекать отрезок BC
в некоторой точке M
.
Тогда треугольники CME
и CDE
равны по общей стороне EM
и двум прилежащим к ней углам, а так как
\angle BME=180^{\circ}-\angle CME=180^{\circ}-145^{\circ}=35^{\circ}=\angle BAE,
то равны также треугольники BME
и BAE
.
Следовательно,
S_{ABCDE}=2\cdot S_{\triangle BCE}=22.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1998 (май), вариант 1, № 3