3886. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC
, касается основания AC
в точке D
и боковой стороны AB
в точке E
. Точка F
— середина стороны AB
, а точка G
— точка пересечения окружности и отрезка FD
, отличная от D
. Касательная к окружности, проходящая через точку G
, пересекает сторону AB
в точке H
. Найдите угол BCA
, если известно, что FH:HE=2:3
.
Ответ. \arccos\frac{3}{4}
.
Указание. Выразите через искомый угол углы треугольника FGH
и примените теорему синусов. Рассмотрите оба случая возможного расположения точки H
— на отрезке BE
и на отрезке AE
.
Решение. Поскольку F
— середина BC
, а D
— середина AC
, то FD
— средняя линия треугольника ABC
. Поэтому DF\parallel AB
. Значит, треугольник AFD
— также равнобедренный.
Пусть точка H
лежит на отрезке BE
. Обозначим \angle BAC=\angle ACB=\alpha
, FH=2x
, HE=3x
. Если O
— центр окружности, то
\angle AFD=180^{\circ}-2\angle DAF=180^{\circ}-2\alpha,~\angle DOE=180^{\circ}-\angle CAB=180^{\circ}-\alpha,
\angle DGE=\frac{1}{2}\angle DOE=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle FEG=\angle DGE-\angle EFG=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-180^{\circ}+2\alpha=\frac{3\alpha}{2}-90^{\circ}.
Треугольник EGH
— равнобедренный, поэтому GH=EH=3x
и
\angle GEH=\angle EGH=\frac{3\alpha}{2}-90^{\circ}.
Угол GHF
— внешний угол треугольника EGH
, поэтому
\angle GHF=2\angle GEH=3\alpha-180^{\circ}.
Тогда
\angle FGH=180^{\circ}-\angle GHF-\angle GFH=180^{\circ}-3\alpha+180^{\circ}-180^{\circ}+2\alpha=180^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов для треугольника FGH
:
\frac{GH}{\sin\angle GFH}=\frac{FH}{\sin\angle FGH},~\mbox{или}~\frac{3x}{\sin2\alpha}=\frac{2x}{\sin\alpha}.
Из этого уравнения находим, что \cos\alpha=\frac{3}{4}
.
Если точка H
лежит на отрезке AE
, то, рассуждая аналогично, придём к такому же результату.