3888. В круг радиуса 12 вписан угол величины 120^{\circ}
так, что центр круга лежит на биссектрисе угла. Укажите площадь части круга, расположенной вне угла.
Ответ. 48\pi-72\sqrt{3}
.
Указание. Треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Пусть угол BAC
, равный 120^{\circ}
, вписан в окружность с центром O
, причём биссектриса этого угла проходит через точку O
.
При симметрии относительно диаметра AA_{1}
, окружность переходит в себя, а лучи AB
и AC
переходят друг в друга. Следовательно, точки B
и C
также переходят друг в друга. Значит, треугольник ABC
— равнобедренный.
Пусть S
— искомая площадь, S_{1}
— площадь сектора BOC
, содержащего точку A
, S_{2}
— площадь ромба OBAC
, состоящего из двух равносторонних треугольников OAB
и OAC
, R=12
— радиус окружности. Тогда
S=S_{1}-S_{2}=\frac{1}{3}\pi R^{2}-R^{2}\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{3}\pi\cdot144-144\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=48\pi-72\sqrt{3}.