3889. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность радиуса 10, точкой пересечения делятся в отношениях AE:EC=1:9
и BE:ED=4:9
, причём одна из этих диагоналей совпадает с диаметром окружности. Найдите сторону DC
четырёхугольника.
Ответ. \frac{9\sqrt{15}}{4}
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников: ABE
и DCE
, AED
и BEC
.
Решение. Пусть AE=a
, EC=9a
, BE=4b
, ED=9b
. Тогда AC=10a
.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
AE\cdot EC=BE\cdot ED,~\mbox{или}~9a^{2}=36b^{2},
откуда находим, что a=2b
. Тогда AC=10a=20b\gt13b=BD
. Следовательно, AC
— диаметр окружности. Тогда AC=10a=20
.
Поэтому a=2
, EC=9a=18
, b=1
, AE=2a=4
, BE=4b=4
, ED=9b=9
.
Пусть CD=x
. Тогда
AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{400-x^{2}}.
Треугольники ABE
и DCE
подобны по двум углам (\angle ABE=\angle DCE
как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому
AB=CD\cdot\frac{AE}{ED}=x\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{9}x.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{400-\left(\frac{2}{9}x\right)^{2}}.
Из подобия треугольников AED
и BEC
следует, что
\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},~\mbox{или}~\frac{\sqrt{400-x^{2}}}{\sqrt{400-(\frac{2}{9}x)^{2}}}=\frac{1}{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{9\sqrt{15}}{4}
.