3894. Окружности радиусов 2 и 3 внешним образом касаются друг друга в точке A
. Их общая касательная, проходящая через точку A
, пересекает две другие их общие касательные в точках B
и C
. Найдите BC
.
Ответ. 2\sqrt{6}
.
Указание. Если O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, то треугольник O_{1}BO_{2}
— прямоугольный.
Решение. Пусть внешняя общая касательная окружностей, содержащая точку B
касается окружности радиуса 2 с центром O_{1}
в точке D
, а окружности радиуса 3 с центром O_{2}
— в точке E
. Окружности касаются в точке A
, значит, точка A
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
.
Поскольку BO_{1}
и BO_{2}
— биссектрисы углов ABD
и ABE
, то \angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}
. Поэтому BC
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
BA=\sqrt{AO_{1}\cdot AO_{2}}=\sqrt{2\cdot3}=\sqrt{6}.
Аналогично находим, что AC=\sqrt{6}
. Следовательно, BC=2\sqrt{6}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1998 (май), вариант 1, № 4